• Основен
  • Wiki
  • Проблеми с наградата на хилядолетието

Проблеми с наградата на хилядолетието

Част от а
конвергентна серия на

Математика
Икона math.svg
1 + 1 = 11
  • Механистично и вълнообразно извеждане на закона за обратния квадрат от първите принципи
  • Байесовски
  • Принципът на Бонферони
  • Осем
  • Исак Нютон
  • Математически заблуди
  • Числа
  • Парадокс
  • Доказателство за несъответствието на аритметиката
  • Терезианска математика
  • Том учител
  • Нула

The Проблеми с наградата на хилядолетието са набор от седем проблема в математика които бяха заявени от Института по математика на глината през 2000 г. Правилното решение на който и да е от проблемите води до награда от 1 000 000 щатски долара (популярна в света на математиката катоНаграда на хилядолетието) се присъжда от института. Институтът по математика на глината или CMI е частна фондация с нестопанска цел, базирана в Провидънс, Род Айлънд .


Към 2015 г. шест от проблемите остават нерешени. Догадката на Поанкаре е единственият проблем, който трябва да бъде разрешен, като решението е публикувано от Григори Перелман през 2003 г. Перелман също е награден с Медала на Фийлдс (често наричан „Нобелова награда за математика“), но той отказва и двете награди, казвайки „Не разбирам не искам да бъда на показ като животно в зоопарка. Той смята, че еднаква заслуга е заслужена от други математици като Ричард Хамилтън, чиито методи той надгражда.

Списъкът с проблеми се вдъхнови от Проблеми с Хилберт , списък от 23 задачи, представени от немския математик Дейвид Хилберт през 1900 г. Проблемите с наградата на хилядолетието бяха представени в Париж през 2000 г. в реда, даден по-долу. Един от първоначалните проблеми на Хилберт, хипотезата на Риман, е в новия списък, а друг, предположението на Бърч и Суинертън-Дайер, следва директно от решението на десетия проблем на Хилберт.


Колкото и вълнуваща да е мисълта за спечелване на милион долара, ако за първи път чувате за наградите на хилядолетието, тогава има доста силен шанс да нямате 10-15-годишното обучение по официална математика, което да вероятно ще трябва дори да започнем с решаването на един от тях.

Съдържание

P срещу NP,

„P срещу NP“ е проблем (от много 20-ти век), възникнал от компютърните науки. Проблемът е представен през 1971 г. от Стивън Кук в неговата статия „Сложността на процедурите за доказване на теореми“ и се смята от мнозина за най-важния отворен проблем в компютърните науки.

Очевидно, за да разберем същността на въпроса, е необходимо да знаем какво P и Например всъщност се отнасят до. И двете описват алгоритми (повтарящи се процеси), които в крайна сметка стигат до заключение от някаква форма.



Първо, помислете за компютърна програма, която може да „провери“ отговор на даден проблем. Например, приемете, че проблемът е:„От списък с един милион произволно избрани числа намерете списък с 1000 числа, които добавят точно един милион“. Ако преминете след това през списъка и изберете необходимата подгрупа от 1000 числа, програмата лесно ще може да провери дали вашият списък добавя или не един милион (използвайки проста аритметика). Има линейна връзка между броя на членовете в набора (1000) и броя стъпки, необходими за решаване на проблема (1000 отделни допълнения). Линейната връзка се нарича „полиномиална“ връзка, така че ние ще наречем тези програми „проверка на отговора“ P .


Сега помислете за задачата да изберете първо необходимото подмножество от 1000 числа. Понастоящем не е известен начин за бърз избор на всички възможни подмножества; единственият начин да го направите е чрез чиста груба сила (т.е. тестване на всяка възможна комбинация, от които има 2-1 възможности). Ако добавите друг член към подмножеството, броят на решенията се увеличава от 2 на 2, което е експоненциален или „не-полиномиален“ растеж. Ще наречем тази програма за „решаване на проблеми“ Например .

Проблемът P срещу NP пита, има ли някакъв начин да се измисли изящен начин за писане на програми за „решаване на проблеми“, така че винаги да можем да избегнем този „не-полиномиален“ растеж? С други думи, може ли да има програма, която решава проблема в същото време на полиноми като програмата за проверка? Ако отговорът е „да“, тогава operatorname {Hdg} ^ k (X) = H ^ {2k} (X,  mathbf {Q})  cap H ^ {k, k} (X).. Ако отговорът е „не“, тогава


Това е важно, защото акотогава някъде в „математическата земя“ има бърз и ефективен начин за разбиване на повечето системи за криптиране, които се използват в момента, включително когато посещавате защитени уебсайтове като тези на вашата банка. Това обикновено се счита за „лошо нещо“. Положителното е, че повечето математици са доста уверени в това. Проблемът е, че все още никой не знае как да го докаже.

Догадката на Ходж

Някои от проблемите на хилядолетието се противопоставят на лесното описание и това е един от тях.

Официалното изявление на този проблем е следното:Догадката на Ходж твърди, че за особено хубави типове пространства, наречени проективни алгебрични разновидности, парчетата, наречени цикли на Ходж, всъщност са (рационални линейни) комбинации от геометрични парчета, наречени алгебрични цикли..

В математически жаргон това е:


Така че в основата си, освен ако вече не знаете какво е проективно комплексно многообразие и какво означава кохомология, няма начин някога да разберете какъв е този проблем.

Независимо от това, уведомете ни, когато сте го решили.

Догадката на Поанкаре (решена)

Как топологията може да превърне чаша кафе в поничка (торус) и обратно.

Догадката на Поанкаре беше важна предположение в областта на топологията, въпреки че нейното значение не беше очевидно по времето, когато беше предложено. (Както беше доказано, в технически план това вече е теорема.)

Топологията е математиката на деформацията; той разглежда повърхности, независими от техните размери. Следователно на шега се наричат ​​тополози„хора, които не могат да направят разлика между чаша кафе и поничка“(тъй като и двете са непрекъснат обект с един отвор в конструкцията - вижте изображението).

Догадката на Поанкаре включва твърдение за обекти в многомерно пространство и дали (при определени условия) обектът може да бъде деформиран до сфера. Поанкаре вярва, че е вярно, когато го заявява през 1904 г. По това време не се смята за особено важна предположение, но впоследствие придобива голяма известност главно защото на няколко пъти през 20-ти век някой ще твърди, че е решил проблема , само за да намери по-късно недостатък.

До 80-те години всички опити за решаване на проблема все още се провалят, но демонстрира, че проблемът има важни последици в други области на топологията, за които Поанкаре никога не е мечтал. Следователно той премина от неясен коментар в документ от 1904 г. до основна област на математическите изследвания.

Окончателното решение беше публикувано онлайн на arXiv през 2003 г. от руски математик на име Григорий Перелман. След три години на интензивен контрол, доказателството му беше прието като окончателно през 2006 г. Как Перелман развива мисленето си е загадка, тъй като той отказва да говори с никого и има предположения, че той може да е престанал да се занимава с математика като цяло. Той бе удостоен с Fields Medal през 2006 г. и официално награден с наградата на хилядолетието през 2010 г., но той отказа да приеме и двете.

Хипотезата на Риман

Хипотезата на Риман е осмият проблем в списъка на Хилберт през 1900 г. и все още се смята за важен нерешен проблем век по-късно. Единственият проблем е да се появи и в двата списъка.

Доказателство или опровержение на това би имало далечни последици в теорията на числата, особено за разпределението на прости числа. Това също така предполага силни граници на растежа на много други аритметични функции.

Хипотезата на Риман се отнася до свойствата на една математическа функция, ритановата дета функция. Догадката твърди, че всички нетривиални нули на аналитичното продължение на функцията на Riemann zeta имат реална част 1/2.

Съществуване на Ян – Милс и масова разлика

Проблемът Ян-Милс не е толкова проблем в математиката, колкото в математическата физика.

Честно е да се каже, че е наистина сложно. Наистина, НАИСТИНА сложно. Независимо, тук се прави опит за основно обяснение.

Имаме квантова физика, която през 60-те еволюира в Стандартен модел , а през 80-те години това беше усъвършенствано, за да включи квантовата теория на полето (QFT). Един аспект на QFT е съществуването на габаритни частици, които се движат напред-назад между други частици, създавайки това, което наричаме „сила“.

Най-широко приетата теоретична рамка за обяснение на QFT се нарича теория на Ян-Милс и (наред с много други неща) тя предсказва, че най-леките частици ще имат маса. Изглежда, че всички експериментални доказателства са съгласни с това. (За да ви помогне да разберете наименованието на проблема, разликата между енергията на вакуума и най-леката частица се нарича „масова празнина“.)

Въпреки че всичко е добре и добре, все още сме далеч от възможността да установим какво точно се случва. Проблемът с QFT е, че всичко се случва в четири (или повече) измерения и участват десетки различни субекти, така че честно казано, всички са малко объркани. За аналогия сме в момента, в който знаем, ако изстреляме катапулт, топката ще кацне „там някъде“, но все още не знаем смятане и затова не можем да предскажем точно къде топката ще свърши.

Така че решаването на това ще бъде еквивалент на квантовата теория на развитието на смятане. Решението трябва също така да предвиди, че частиците с най-лек габарит имат маса.

Навие – Стокс съществуване и гладкост

От седемте проблема с наградата на хилядолетието това има най-практични приложения, особено при решаването на проблема с турбулентността на течностите.

Уравненията на Навие – Стокс са разработени през 19 век и описват движението на течностите. Те са изключително важни в много области на инженерството и приложните науки, тъй като освен всичко друго въздухът и водата са течности. Въздухът се движи над крило? Вода, движеща се през тръби? Океански течения? Метеорологичните условия? Можете да приложите уравненията на Навие-Стокс, за да анализирате тези явления математически. Въпреки че съществуват от доста време, те все още са слабо разбрани. Проблемът е да се постигне напредък към математическа теория, която ще даде представа за тези уравнения.

Официалната дефиниция на проблема е:Докажете или дайте контрапример за следното твърдение: В три пространствени измерения и време, при дадено начално поле на скоростта, има векторна скорост и скаларно поле на налягане, които са едновременно гладки и глобално дефинирани, които решават Навие – Стоукс уравнения.

Догадката на Бреза и Суинертън-Дайър

Догадките на Бреза и Суинертън-Дайер също имат дълга история. Десетият проблем на Хилберт се занимава с по-общ тип уравнение и в този случай беше доказано, че няма начин да се реши дали дадено уравнение изобщо има решения.

Този проблем се занимава със специфичен тип уравнение, което определя елиптичните криви над рационалните числа. Догадката е, че има процедурен начин да се определи дали такива уравнения имат краен или безкраен брой рационални решения.