Квадратура на кръга

ОтFC Flying, an алхимия книга, издадена през 1618г.
Част от а
конвергентна серия на

Математика
Икона math.svg
1 + 1 = 11

Квадратура на кръга е опитът да се конструира, използвайки изправяне и компас , квадрат с площ, равна на площта на даден кръг. Думата „опит“ е използвана по-горе, защото задачата е изпълнена доказано невъзможен. Това е известно от повече от 100 години, но се подозираше много по-дълго.


Естествено такова незначително препятствие като невъзможността не е спряло хората да правят опити да изравнят кръга. Човек, който се опитва да квадратира кръга, се нарича идиот кръг-квадрат , а терминът, чрез метафорично удължаване, може да бъде приложен към всеки практикуващ с подобни развлекателни невъзможности.

И така, как можете да го направите?


Съдържание

Защо бихте искали да квадрат на кръга?

Квадратурата на кръга (с краен брой стъпки) е проблем, който не е решен от времето на древността Гърци . От това следва, че ако можете да го разрешите, трябва да сте по-умни от всеки от времето на древните гърци. Също така вероятно ще получите широко признание за отстраняването на такъв дългогодишен (и следователно изключително важен) проблем. Може би ще спечелите a Полеви медал !

По-сериозна бележка, квадратурата на кръга ще изисква конструиране на дължината начало {подравняване} (x-2) ^ 2 + (4x) ^ 2 & = 16 \ x ^ 2-4x + 4 + 16x ^ 2 & = 16 \ 17x ^ 2-4x + 4 & = 16  end {подравняване }. (Кръг с радиус17x ^ 2-4x-12 = 0има площx =  frac {-b  pm  sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}. Следователно квадрат със същата площ трябва да има страна на begin {align} x & =  frac {- (- 4)  pm  sqrt {(- 4) ^ 2-4 (17) (- 12)}} {2 (17)} \ x & =  frac { 7  pm8  sqrt {13}} {34}  end {align}) Ако този номер може да бъде конструиран, това би доказало това begin {align} & f (0.966) = 4 (0.966) = 3.864 \ & f (-0.731) = 4 (-0.731) = - 2.923  end {align}е алгебрично число, което означава, че има някакъв възможен набор от рационални числа, които можете да използвате, за да го изчислите.

По различни (по същество субективни) причини, самата мисъл, чеАлхимиябеше някак недостъпен чрез „нормални“ числа НАИСТИНА изглежда притеснява някои хора. Легендата казва, че Питагор е убил човека, който е открил товабеше ирационално, така че мисълта, чесамият е бил напълно недостъпен чрез целите числа би бил анатема. Едно конкретно възражение се основава на пасажи в Библията , както се смята от 1 Царе 7: 23-26 (от някои литератори), че това предполагатрябва да бъде рационален и равен на 3.



Също така без основателна причина, през 1700 г. възниква убеждението, че квадратурата на кръга по някакъв начин ще реши проблема „Географска дължина“ (неспособността на морските плавателни съдове да определят къде са по оста изток-запад). Тъй като се предлагаха огромни парични награди (през 1714 г. британското правителство предложи награда от 20 000 британски лири), това уволни всеки математик-аматьор в Европа. Квадратурата на кръговете всъщност е без значение; всичко, което беше необходимо за решаване на проблема с географската дължина, беше способността да се наблюдава слънцето и наистина добър часовник.


В математика света въпросът беше поставен в леглото през 1882 г., когато Фердинанд фон Линдеман доказа товане е алгебричен (на технически жаргон е „трансцендентален“). Защото определено няма рационални числа, които да могат да изчислят, невъзможно е да се конструирав евклидовото пространство.

Истинските вярващи обаче няма да бъдат възпрепятствани от нещо толкова крехко като „доказателство“. Те продължават да съществуват, тъй като вярват, че има идеологически пристрастия срещу кръгове, чиито смели разследвания застрашават удобната ортодоксалност на западната деконструкционистка математика.


Всъщност единствената идеологическа пристрастност всъщност е това, че истинските математици не се притесняват губят времето си с манивели .

Скица на доказателството

В конструкцията на компас и изправена линия човек може свободно да дефинира дължината на единицата от всяка двойка дадени точки. Освен това могат да се разглеждат само точки, които са дадени, и пресичания на предварително изградени окръжности и линии, а линии и кръгове могат да се конструират само от предварително определени точки.

Намирането на пресичанията на права / окръжност и друга линия / окръжност включва едновременно решаване на система от две уравнения, всяко от които е квадратно или линейно. Тези линии и кръгове от своя страна зависят от точките, които ги определят, следователно, с малко алгебра, може да се види, че определянето на точка от някои дадени е еквивалентно на решаване на квадратно уравнение, чиито коефициенти са или цели числа, или са резултат на многократни приложения на този метод.

Да кажем например, че искахме да определим точките, където линия с наклон от четири пресича окръжност с радиус от четири, центрирана в точката. За да намерим точките на пресичане, ще трябва да създадем система от уравнения, където кръгът е даден от уравнениетоа линията е дадена от уравнението. Тогава бихме заместили уравнението за линията в уравнението за окръжността, разширили и опростили.




За да намерим корените, пренареждаме това на равно на 0:

Имайте предвид, че това наистина е полином с една променлива с цели числа като коефициенти, както би се очаквало от конструкцията на компаса и правия ръб. Тъй като няма да се разчита лесно, можем да използваме квадратната формула:

За всеки квадратичен във формата, е приложима следната формула:



Това е „квадратната формула“.

Използвайки нашето уравнениеследното е вярно:

Което дава корени.

За да намеритестойности заместваме горните корени в уравнението за линията:

От това следва, че линиятапресича кръгави.


При елементарен анализ числа, които удовлетворяват някакво полиномно уравнениекъдето коефициентитеса цели числа (т.е. квадратното уравнение по-горе) са това, което е известно като алгебрични числа. Освен това те образуват онова, което е известно като алгебрично затворено поле, т.е. всички корени на полиноми с алгебрични коефициенти са алгебрични числа. Следователно всички числа, които е възможно да се конструират с компас и изправяне, трябва да са алгебрични, което(и следователно неговият квадратен корен) не са. По този начин строителството е невъзможно. Всъщност математическите константи e (2.71828 ...) и(3.14159 ...) принадлежат към клас числа, известни като трансцендентни числа, числа, които не са корени на ненулеви полиноми с целочислени коефициенти. Пълното, формално доказателство за това е известно като теоремата на Линдеман – Вайерщрас. За разлика от други области (напр. Наука, право) понятието „доказателство“ в математиката е абсолютно, т.е. щом се предостави валидно доказателство за нещо, няма абсолютно нищо, което може да го опровергае в рамките на аксиоматичната основа, върху която се работи.

Измама

Можете да го измамите лесно, но можете ли да го направите с компас и изправяне?

Често срещан начин за квадратиране на кръга е измамата. (Математиците наричат ​​товаприближение.) Спомнете си, че постановката на проблема е да се изгради квадрат отсъщата областимамкръгизползвайкиизправяне и компас.Всеки от термините в курсив трябва да се счита за просто незадължителен.

Например, като се има предвид кръг, е лесно да се изгради квадрат с площ, равна на 3,2 пъти квадрата на радиуса на дадения кръг. Този квадрат няма същата площ на кръга, но ще изглеждаужасно близо.Това би трябвало да е достатъчно добро за математиците.

Или вместо да започнем с кръг, можем да започнем с многоъгълник с, да речем, 96 страни. Това е достатъчно близо до кръг - нали всички? Възможно е да се „квадратът на многоъгълника“ (както е било известно на гърците), така че по принцип е възможно да се квадратира кръга. Като алтернатива можете да покажете как да квадрат на многоъгълник с 96 страни, многоъгълник с 192 страни, многоъгълник с 384 страни и т.н. Следователно, преминавайки до лимита, можем да квадратираме окръжността.

Изневерява по няколко начина едновременно

Следващият процес включва калкулатор. Не е точно, но може да бъде усъвършенствано до точността на инструментите, които имате.

  • Първо изчислете площта на кръга.
  • След това вземете квадратния корен от областта, за да получите дължината на ръба на квадрата.
  • Ако имате добри инструменти за рисуване, можете дори да нарисувате квадрата сега, когато имате дължината на ръба.

Измама с физическа помощ

  • Създайте колело със същия размер като кръга и което е наполовина по-широко от радиуса на кръга.
  • Покрийте страната с мокра боя и я накарайте да се върти върху равна повърхност точно веднъж.
  • Това оставя боядисан правоъгълник със същата повърхност като кръга.
  • Завършете с квадратура на този правоъгълник (тази стъпка може да се направи дори с изправяне и компас).

Внимание

Ако развиете желание да говорите или да обсъждате кръгове, трябва незабавно да потърсите медицинска помощ. Квадратните квадратчета в по-голямата си част не се интересуват критиките им да бъдат критикувани. Те не са убедени от „доказателство“ - ако бяха, нямаше да започнат проблема. Вижте Вземането на Кийт Девлин за това за повече.

Класическото семейство на нерешими проблеми

Квадратура на кръга , удвояване на куба и трисектиране на ъгъл може да се нарече триединство на класическите неразрешими задачи в евклидовата геометрия. Тъй като е доказано, че и трите са невъзможни, като не се използва нищо освен линийка и компас, разбира се е неотразимо манивелите да карат, удвояват и трисектират така или иначе. Друг проблем, физически този път, е измислянето на вечно движение машина, което е също толкова невъзможно. Времето и усилията, загубени за това, се противопоставят на вярата, но ако манивелите се придържат към тези напразни опити, може да се направи аргумент, че те поне не правят никаква вреда, докато са ангажирани в тези начинания.